• Branca Ícone LinkedIn
  • Branco Facebook Ícone
  • Branca ícone do YouTube
  • Branca Ícone Instagram

CONTATO

© 2019 Saturno V Todos os direitos reservados. O Saturno V não comercializa nem distribui cotas de fundos de investimento ou qualquer outro ativo financeiro, fornecemos licença de uso do sistema automatizado. 

NOVA PROPOSTA DE SOLUÇÃO PARA O PARADOXO DE OLBERS

Por Hindemburg Melão Jr

 

Para minha grande satisfação, poucos minutos depois de publicar este artigo, já recebi uma curtida e uma mensagem com cumprimentos do Prof. Bráulio Medina, medalha de bronze na Olimpíada Brasileira da Matemática categoria sênior, professor no IBMEC e PUC

 

Os registros mais antigos que se tem nos quais esteja descrito o que ficou conhecido como “Paradoxo de Olbers” datam do século XVI, quase 200 anos antes do nascimento de Olbers. Desde então, o mesmo paradoxo foi reapresentado várias vezes, em versões ligeiramente diferentes, e foram apresentadas várias explicações para esse fenômeno, a maioria das quais tentando se apoiar em modelos cosmológicos dependentes de que o Universo seja finito e/ou esteja em expansão. Há também pelo menos uma proposta matemática para tentar explicar o fenômeno, mas esta depende de que a dimensão fractal do Universo seja menor do que 2, o que não encontra suporte na observação. 
 
Nesse pequeno artigo, proponho uma solução relativamente simples e exclusivamente matemática para o problema, que não depende do modelo cosmológico adotado nem impõe condições sobre o Universo estar em expansão ou ser finito. Depende apenas de que o Universo em larga escala seja homogêneo e isotrópico, o que está em bom acordo com as evidências experimentais. 
 
A formulação do paradoxo é basicamente a seguinte: se o Universo é isotrópico e homogêneo, o brilho médio das estrelas situadas entre 990 e 1010 anos-luz de distância será cerca de 4 vezes maior que o brilho médio das estrelas situadas entre 1990 e 2010 anos-luz de distância. Porém a camada de estrelas situadas entre 1990 e 2010 anos-luz de distância terá 4 vezes mais estrelas. Portanto, se a camada 2 vezes mais afastada tem 4 vezes mais estrelas e cada uma dessas estrelas tem, em média, 1/4 do brilho, então o brilho total da camada mais distante é, em média, igual ao da camada mais próxima. Para uma camada 3 vezes mais distante, haverá 9 vezes mais estrelas com brilho cerca de 1/9 e assim por diante. Isso vale para qualquer distância considerada. Todas as camadas de estrelas têm, em média, mesmo brilho, independentemente da distância, porque a quantidade total de estrelas por camada compensa exatamente a redução no brilho aparente em função da distância para cada uma das estrelas na respectiva camada. Assim, se o Universo for infinito, significa que há infinitas camadas, logo a soma do brilho de todas as camadas deveria ser infinito. Mas como algumas estrelas ficam em frente às outras, então em vez de brilho infinito, o céu inteiro teria “apenas” o mesmo brilho da superfície de uma estrela típica, isto é, seria como se toda superfície do céu brilhasse tanto quanto o Sol, ou ligeiramente menos (cerca de 40% do brilho do Sol), já que a luminosidade média das estrelas é um pouco menor que a do Sol. 

 

 

Esse problema é citado em praticamente todos os livros sobre Astronomia e há várias tentativas de explicar a razão disso. Há também refutações a praticamente todas as tentativas, que se mostram insuficientes. Mesmo considerando que o Universo é finito, mesmo considerando a recessão acelerada das galáxias, mesmo que as estrelas não sejam eternas, se o argumento de Olbers estivesse correto, seria esperado que o céu fosse muito mais brilhante do que é. 
 
O problema é que há uma falha na argumentação que constrói o pseudo-paradoxo. Mesmo que o Universo fosse infinito e estático, mesmo que cada estrela fosse eterna e a luz das estrelas mais distantes estivesse se propagando desde sempre, mesmo que não houvesse poeira absorvendo luz ao longo da trajetória, mesmo que o efeito Doppler não reduzisse a magnitude (dependendo da distribuição dos níveis de sensibilidade do olho ou do sensor), ainda assim o céu seria escuro por uma razão matemática. 
 
A falha no argumento de Olbers está na interpretação da parte em que algumas das estrelas mais afastadas ficam exatamente atrás de outras que estão mais próximas. Isso implica que, embora cada camada emita mesma quantidade de luz, só uma fração da luz emitida acaba chegando ao observador sem ser obstruída pela superfície de alguma estrela que esteja numa das camadas mais próximas. 
 
O argumento original propõe a soma de uma série infinita de termos todos iguais. Assim, 1+1+1+1... com infinitos termos, o resultado da soma diverge. Se trocar 1 por 0,1 ou por 0,00001 ou por 10^-1000, ainda assim o resultado da soma dos infinitos termos será infinito. 
 
Porém como algumas estrelas ficam à frente de outras e obstruem parte da luz das camadas mais afastadas, em vez da soma de todos os termos iguais, será uma série em que cada termo será ligeiramente menor. Portanto a soma dos termos da série pode convergir, dependendo do ritmo em que se reduz o valor de cada termo em comparação ao precedente. 
 
Se cada estrela da segunda camada tivesse cerca de 1% de probabilidade de ficar exatamente atrás de alguma estrela da primeira camada, então cada fator a ser somado deveria multiplicar o fator anterior por 0,99 e, ao final, a soma da série totalizaria cerca de 100 de vezes o brilho da primeira camada, em vez de totalizar um brilho infinito ou de todo o céu ter mesmo brilho médio da superfície de uma estrela.  
  
Claro que algumas estrelas são maiores que outras, mais brilhantes que outras etc., mas com uma distribuição aproximadamente homogênea de estrelas em todas as camadas, o argumento seria basicamente o mesmo para estrelas idênticas, apenas teria flutuações estatísticas mais largas. 
 
Não é possível fazer levantamentos estatísticos suficientemente numerosos de camadas, porque depois de cerca de 1 kpc (~3000 anos-luz) já não se consegue medir com precisão suficiente as paralaxes, resultando em incertezas muito grandes nas distâncias, e isso impede distinguir se determinada estrela faz parte de uma camada ou de outra. Então o raio a ser considerado para a investigação teria no máximo cerca de 1000 anos-luz, mas nesse caso, ao ser dividido em camadas de 100 anos-luz, conteria poucas estrelas por camada, principalmente nas camadas mais próximas, novamente inviabilizando o levantamento porque a amostra de cada camada não seria suficientemente numerosa. E se as camadas fossem muito mais largas que 100 anos, não haveria número suficientemente grande de camadas para que o estudo pudesse ter valor estatístico. 
 
Apesar disso, é possível fazer a estratificação de estrelas em camadas de outra maneira. Em média, as estrelas situadas nas camadas mais distantes são as menos brilhantes, sendo o brilho aparente inversamente proporcional ao quadrado da distância. Então pode-se considerar que, em média, estrelas situadas em determinada faixa de magnitudes são estatisticamente equivalentes a estrelas situadas numa camada a determinada faixa de distâncias. Por exemplo: estrelas de mv entre 4,5 e 5,5 estão, em média, à distâncias entre 9 e 11 parsecs. Claro que há estrelas com mv 5 muito mais próximas que 10 pc e outras muito mais distantes, mas a média do grupo de estrelas com mv 5 está a cerca de 10 pc. As estrelas com mv 6 estão, em média, a 16 pc e assim por diante, mantendo uma relação bastante aproximada entre distância média e brilho médio. 
 
Embora os agrupamentos por faixa de mv incluam uma porcentagem relativamente maior de estrelas brilhantes afastadas e menor de pequenas estrelas próximas, se comparado à distribuição de estrelas estratificadas por distâncias, quando se considera uma amplitude suficientemente larga de magnitudes e de distâncias, essas assimetrias na frequência relativa de estrelas só afetarão um pouco as extremidades de menor e maior brilho, enquanto na maior parte da curva plotada predominará basicamente a mesma a forma que a curva teria se fossem plotados os dados das estrelas estratificadas por distâncias. 
  
Então o produto do número de estrelas em cada intervalo de mv pelo brilho médio das estrelas naquele mesmo intervalo seria aproximadamente o mesmo para qualquer faixa de magnitude considerada. Essa formulação é estatisticamente equivalente à do paradoxo de Olbers, mas num contexto mais fácil de ser verificado, porque há levantamentos bastante completos com mv de bilhões de estrelas catalogadas, porém há poucos milhares de estrelas cujas distâncias sejam conhecidas com razoável acurácia. 
 
Considerando as estrelas entre mv 4 e 20, e multiplicando o número de estrelas em cada intervalo de 1 mv pelo número de estrelas no mesmo intervalo, temos uma curva monotônica decrescente, em que o brilho total de cada camada vai diminuindo sistematicamente.  
 
Em 5 de junho de 2019, o catálogo GAIA DR2 continha registro de 1.692.919.135 de estrelas com mv (G-band) até 21,5. Porém para mv acima de 11, as estrelas registradas no catálogo representam uma fração cada vez menor entre o total de estrelas naquela faixa de mv. Para mv até 15, por exemplo, Gaia DR2 inclui 2,8 milhões de estrelas, mas há cerca de 130 milhões de estrelas até essa magnitude. 

 

Infelizmente ainda não há dados experimentais acurados com a contagem sistemática de estrelas com brilho abaixo de mv 12, mas há amostras suficientemente diversificadas e numerosas, cobrindo diferentes regiões, para que se possa fazer boas estimativas a partir das amostras coletadas. Alguns dos sites consultados sobre isso são estes:  
  
https://www.aa.quae.nl/en/antwoorden/magnituden.html 
http://www.stargazing.net/david/constel/howmanystars.html 
http://www.hnsky.org/star_count.htm
https://web.archive.org/web/20080206074842/http://www.nso.edu/PR/answerbook/magnitude.html 

 
Diferentes fontes apresentam resultados ligeiramente diferentes, mas todas as fontes mostram uma curva monotônica decrescente e os parâmetros da curva que proporciona melhor ajuste aos pontos experimentais também são semelhantes, qualquer que seja a fonte de dados considerada. Alguns sites também oferecem equações para estimar o número aproximado para cada mv fora do intervalo disponibilizado no site. A partir desses dados, pode-se plotar o seguinte gráfico: 

 

Para mv mais brilhante que 4, os parâmetros da curva não ficam muito bem definidos porque o número de estrelas é pequeno (menos de 1000) e a flutuação estatística é grande, já que o brilho de algumas supergigantes chega a ser milhões de vezes maior que o de uma estrela média, por isso os outlier desse tipo e outros (variáveis, binárias eclipsantes etc.) afetam sensivelmente a curva enquanto a amostra é relativamente pequena. Mas a partir do ponto em que o número de estrelas por camada supera 10.000 (aprox. mv 7), as propriedades da curva ficam cada vez mais claras e a tendência de que cada camada seja menos brilhante que a anterior também se mostra muito bem ajustada à hipótese proposta nesse artigo. 
 
O resultado é claramente diferente do enunciado do paradoxo, que assume que todas as camadas tenham aproximadamente mesmo brilho. Em vez disso, a obstrução produz um efeito bastante sensível e que pode ser medido empiricamente. 
 
Usando escala logarítmica, pode-se notar que os pontos se ajustam excepcionalmente bem a uma reta, principalmente acima de mv 9, em que as amostras de estrelas por camadas são suficientemente numerosas para atenuar o ruído das flutuações estatísticas. 

 

O que os resultados desse gráfico nos mostram é que a soma do brilho de todas as estrelas do Universo (considerando suas respectivas distâncias e o fato de que algumas ficam obstruindo o brilho de outras) produz um brilho total corresponde a cerca de mv -5,2, só um pouco maior que o brilho de Vênus. O brilho da Via-Láctea inteira para um observador situado na Terra é estimado em cerca de -6,5. Não encontrei informações sobre como esse cálculo para a Via-Láctea foi feito, mas é provável que inclua o brilho de nebulosas, aglomerados globulares e outros objetos além da soma do brilho de estrelas individuais, por isso chegaram a um brilho total maior. 
 
Considerando que há cerca de 400 bilhões de estrelas na Via-Láctea e nas galáxias satélites situadas a poucas centenas de milhares de anos-luz, quando o número de estrelas por faixa de mv começa a se aproximar ao de algumas dezenas ou centenas de bilhões, espera-se que haja uma gap na abundância relativa, porque se está chegando ao limite de estrelas observadas na Via-Láctea e imediações. Por isso a verdadeira curva de distribuição deve ser suave até mv em torno de 20. Para estrelas com brilho menor que mv 20 é esperado que haja uma escassez de estrelas até o ponto em que começam a ser incluídas as da galáxia de Fornax, Barnard, Andrômeda etc. 
 
Isso significa que que quando se considera também a contribuição de outras galáxias para o brilho total do céu, como a densidade luminosa média da Via-Láctea é maior do que a densidade luminosa média do espaço como um todo, já que a maior parte do espaço não contém galáxias, então ao terminar a região delimitada pela Via-Láctea ocorre uma abrupta redução na densidade de estrelas por ano-luz cúbico. Isso acelera o ritmo em que cada camada de estrelas se torna menos brilhante que a camada imediatamente mais próxima, portanto o argumento utilizado aqui seria válido para mostrar que o céu seria escuro mesmo que a densidade média de estrelas no Universo fosse igual à densidade média da Via-Láctea, mas como a densidade é ainda menor, o argumento funciona ainda melhor. 
 
Isso se pode verificar empiricamente, bastando olhar para o céu e constatar que que a região onde da Via-Láctea é muito mais brilhante que as outras áreas do céu, exceto algumas partes específicas nas quais haja outras galáxias ou aglomerados globulares. 
 
Quando se considera o Universo em pequena escala, entre as 200 galáxias mais brilhantes sob o ponto de vista de um observador situado na Terra, a mais brilhante (Andrômeda) responde sozinha por 46% do brilho enquanto as outras 199 somadas respondem por 54%. Removendo as 30 primeiras mais brilhantes, e considerando as 170 restantes, a curva que descreve o brilho em função da posição no ranking de brilho torna-se bastante aderente a uma função logarítmica, conforme o gráfico abaixo:
 

 

Portanto, quando se está próximo a uma galáxia ou se faz parte dela, observa-se uma densidade anormalmente grande de estrelas cujo comportamento na redução do brilho de cada camada de estrelas em função da distância é semelhante ao da Via-Láctea. E nesse cenário verificamos que é esperado que o céu seja escuro. Quando termina essa região, a densidade de estrelas por unidade de volume fica muito menor e a redução no brilho de cada camada de estrelas em função da distância diminui mais rapidamente, fortalecendo o argumento. 
 
A estrutura em larga escala do Universo está representada na imagem abaixo: 

 

As regiões mais brilhantes da imagem são aglomerados de galáxias, cuja densidade de estrelas é maior do que no espaço em geral, mas é menor do que em uma galáxia típica, ou seja, mesmo as regiões mais brilhantes representadas na imagem acima são menos brilhantes que nossa região. 
 
Portanto, não há nenhum paradoxo. A maneira como a situação foi interpretada por Digges, Kepler, Halley, Olbers, Kelvin, Mandelbrot e outros não era correta, no sentido de que se houvesse infinitas camadas de estrelas num Universo homogêneo e isotrópico (axioma do qual eles partiam), em vez de representar essa situação por meio da soma de infinitos termos, cada termo representando uma camada com mesmo brilho, e depois descontar o efeito de que algumas estrelas ficavam em frente a outras, o correto teria sido descontar esse efeito no momento de somar cada camada, portanto os termos não seriam todos iguais, mas sim progressivamente menores, isto é, o brilho que nos chega de cada camada de estrelas é um pouco menor do que o brilho que nos chega das camadas imediatamente mais próximas. Esse detalhe faz a soma da série convergir e muda completamente o resultado. 
 
Basicamente tudo se resume a um erro na representação matemática do problema físico. 
 
Mesmo quando se considera as heterogeneidades e anisotropias, que não eram conhecidas até o século XX, os termos da série continuam decrescendo e o resultado final continua sendo um valor finito.