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12 de Agosto de 2020

CALCULANDO A DISTÂNCIA DA LUA COM BASE NA FOTO DE OCULTAÇÃO DE MARTE 

Por Hindemburg Melão Jr

 

Colaboradores que enviaram suas fotos e coordenadas geográficas: 
Alisson Correa e Carlos Palhares 

 
Embora a distância ao Sol só tenha sido determinada com razoável precisão a partir do século XVII, a distância até a Lua já era conhecida desde os antigos gregos. 
 
A primeira pessoa de que se tem registro que calculou a distância da Terra à Lua utilizando um método apropriado foi Aristarco do Samos, por volta de 250 a.C. Antes dele, já se sabia que a Lua estava muito distantes da Terra, pois quando se subia numa montanha, a distância até à Lua ficava menor, apesar disso não era possível perceber nenhum aumento relevante no tamanho aparente da Lua, portanto a distância até a Lua deveria ser muito maior que a altura da montanha. 
 
Também se sabia que a Lua ficava mais “alta” que as nuvens, pois nunca a Lua passava em frente a alguma nuvem, sempre eram as nuvens que passavam em frente à Lua. Analogamente, sabia-se que a Lua estava mais próxima que o Sol, pois nunca se via o Sol passar em frente à Lua. Todas as vezes que se alinhavam, era a Lua que ficava em frente ao Sol. Nos raros casos em que a Lua ocupava a mesma posição aparente de algum planeta ou estrela, também era sempre a Lua que ficava na frente, portanto ela deveria estar mais próxima que qualquer outros astro. 
 
Também se sabia o tempo necessário para que a Lua, o Sol e os planetas percorressem todas as constelações do zodíaco. A Lua leva, em números redondos, 27 dias para passar por todas as estrelas e retornar aproximadamente à mesma região, Mercúrio levava 88 dias, Vênus 225, o Sol 365, Marte 687, Júpiter 4.333 e Saturno 10.759 dias. Como a Lua era o objeto mais próximo e tinha período mais curto, parecia razoável supor que as distâncias fossem proporcionais aos períodos, ou pelo menos a ordem de distância fosse a mesma ordem dos períodos. 
 
Sabia-se também que a Lua brilhava pela luz do Sol refletida em sua superfície, pois conforme as posições relativas da Lua e do Sol mudavam ao longo dos dias, a parte iluminada da Lua também mudava, e essas mudanças ocorriam de tal maneira que sempre a região que estava voltada para o Sol ficava iluminada, enquanto a outra fica escura. Além disso, a porcentagem iluminada da Lua respeitava rigorosamente a distância angular que ela estava do Sol. 
 
Com fundamento nestes fatos, Aristarco concluiu que quando a Lua está exatamente 50% iluminada sob o ponto de vista de um observador na Terra, a configuração Sol-Terra-Lua deveria formar precisamente um triângulo retângulo cujo ângulo reto ficava na Lua, conforme a imagem a seguir: 

 

Sabendo que o ângulo formato na Lua é reto, basta medir o outro ângulo, isto é, a separação angular entre a Lua e o Sol, para que se conheça todos os ângulos internos desse triângulo. Nessa época, Euclides já havia publicado seu livro “Elementos”, com as bases da Geometria Plana, e já se sabia que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo sobre uma superfície plana totaliza 180º. 
 
Aristarco mediu um ângulo de 3º faltantes para chegar a 90º, mas o correto é muito menor. Na época não havia instrumentos suficientemente acurados para medidas melhores. Com isso, ele concluiu que o Sol estava situado a uma distância cerca de 20 vezes maior que a distância da Terra à Lua. O valor real é cerca de 400 vezes. Embora ele estivesse longe de chegar a um resultado correto, foi suficiente para constatar que o Sol era muito maior que a Terra, maior que a Lua e maior que qualquer outro objeto conhecido. 
 
Aristarco sabia o tamanho relativo entre a Terra e a Lua, com base no tamanho da sombra da Terra projetada sobre a Lua durante os eclipses parciais, e conhecendo o tamanho angular da Lua, cerca de 0,5º, era possível calcular a distância até a Lua em relação ao raio da Terra. E com essa ideia representada acima, também se tornava possível tentar medir a distância até o Sol. Nessa época, Eratóstenes ainda não havia determinado o tamanho aproximado da Terra; as melhores estimativas que se tinha eram as de Platão (400.000 stadia para a circunferência da Terra) e Arquimedes (300.000 stadia). 
 
Cerca de uma década depois, Eratóstenes refinou substancialmente o cálculo para a circunferência da Terra e encontro para sua circunferência o valor de 252.000 stadia, muito próximo do valor atual. Eratóstenes também fez suas próprias medições das distâncias da Lua e do Sol, mas infelizmente os detalhes de seu método foram destruídos no incêndio da biblioteca de Alexandria, restando apenas fragmentos com os resultado que ele obteve, em que a distância ao Sol é citada como “of stadia myriads 400 and 80,000”, o que pode ser interpretado de muitas maneiras diferentes, porque na época ainda não se utilizava o sistema de numeração indo-arábico, e havia muitas maneiras diferentes de escrever os números com caracteres greco-romanos. O número 4, por exemplo, podia ser IV ou IIII, a ordem dos caracteres também podia ser trocada. Os números 50, 100, 1000 tinham várias maneiras diferentes de serem representados. Por isso não há consenso sobre qual foi o resultado encontrado por Eratóstenes. Algumas fontes citam 780.000 stadia, outras citam 4.080.000 stadia, outras citam 804.000.000 stadia. Há ainda outras interpretações possíveis. 
 
Acho improvável que ele tenha encontrado o valor de 780.000 stadia, que indicaria uma distância menor que a da Lua, e como o período da Lua era mais curto, seria bastante estranho que o Sol estivesse mais próximo. Além disso, as medidas anteriores, feitas por Aristarco, mostravam que a Lua estava muito mais próxima. Como se isso não bastasse, um erro tão grande quando 780.000 stadia seria muito fácil de detectar, porque tal paralaxe seria bem grande, difícil de confundir com 0, então creio que deve ser descartada, pois esta versão é gravemente inconsistente com o que se sabia na época. 
 
A medida de 4.080.000 stadia ainda era muito pequena, só 1,5x maior que a distância da Lua (cerca de 640.000 km), e também seria um erro fácil de se detectar. 
 
A medida de 804.000.000 stadia é próxima ao valor correto (126.000.000 km, sendo que o correto é cerca de 149.600.000 km), mas com os instrumentos da época não seria possível chegar a um resultado tão bom, e mais difícil ainda explicar 3 algarismos significativos de precisão, porque indicaria uma medida com incerteza de centésimos de segundo de arco, algo que não se conseguia fazer nem na época de Galileu, com o uso de telescópios. 
 
Portanto, embora Eratóstenes tenha calculado as distâncias do Sol e da Lua, infelizmente não há como saber quais foram os resultados a que chegou, pois os registros do método foram destruídos, e os fragmentos que sobreviveram não apresentam valores consistentes com o que se sabia na época, nem sequer fornecem pistas sobre qual poderia ter sido o resultado a que chegou. 
 
Aproximadamente na mesma época de Eratóstenes, Arquimedes fez uma estimativa de que o Sol estaria a cerca de 10.000 raios da Terra de distância, o que representaria cerca de 500.000.000 stadia ou 75.000.000 km, usando o valor que ele próprio mediu para o raio da Terra, ou cerca de 65.000.000 km se usasse o raio da Terra de Eratóstenes. Essa foi a melhor estimativa até o século XVII. Mais tarde, Posidônio fez uma estimativa similar à de Arquimedes, mas no século I d.C. o grande Ptolomeu, que por 15 séculos foi referência mundial, estimou em cerca de 1.210 raios da Terra, e foi o valor mais aceito até os tempos de Copérnico. 
 
A primeira medida razoavelmente acurada da distância até a Lua foi feita cerca de um século depois de Aristarco, por Hiparco, que chegou a cerca de 64 raios da Terra. O correto é cerca de 60,268 raios da Terra, sendo que dependendo do momento seja feita a medida, com a Lua próxima ao apogeu, poderia chegar a pouco mais de 63,6 raios da Terra. Porém o cálculo de Hiparco para a distância ao Sol foi inferior ao de Aristarco, e encontrou cerca de 490 raios da Terra. 
 
Os valores de Hiparco (490), Ptolomeu (1210) e Aristarco (1520) talvez fossem preferidos porque estavam mais próximos da proporção dos períodos dos planetas (o Sol e a Lua também eram considerados planetas). O período do Sol é 13,4 vezes o da Lua, e as distâncias de Hiparco, Ptolomeu e Aristarco eram respectivamente 7,7x, 19x e 18,86x a distância da Lua. Estes valores estão mais próximos da proporção de 13,4x, enquanto as estimativas de Arquimedes e Posidônio, de 10.000 raios da Terra, implicariam uma proporção de mais de 100x. Antes de Kepler propor suas 3 Leis do movimento planetário, já se acreditava que deveria haver algum tipo de relação de proporcionalidade entre distância e período orbital, mas o problema é que naquela época se achava que tanto a Lua quanto o Sol e os demais planetas giravam em torno da Terra (ou em torno do deferente), por isso a dificuldade em conciliar distância-tamanho da Lua com os dos demais objetos. 
 
No século XVII, com o uso de telescópios, todas as medições melhoraram em 1 ou 2 ordens de grandeza, tornando-se relativamente fácil medir a distância até a Lua, e antes de terminar o século XVII já foi possível medir também a distância da Terra ao Sol. A essa altura, havia duas vantagens importantes em comparação aos recursos disponíveis aos antigos gregos: 
 
1. Instrumentos com precisão muito superior, graças principalmente ao uso do telescópio. 
2. Observadores espalhados pelo mundo todo, ampliando muito a linha de base para o cálculo de paralaxe. 
 
Aristarco já conhecia o método da paralaxe, mas para colocá-la em prática ele precisaria de um colega que morasse muito longe e pudesse observar alguns eventos exatamente no mesmo instante que ele, e essa necessidade de que as observações fossem simultâneas implicava uma dificuldade adicional, pois não havia métodos acurados para se medir o tempo. As ampulhetas e clepsidras não escoavam uniformemente, e mesmo com as inovações de Ctesíbio, que encontrou uma maneira engenhosa de uniformizar o ritmo de escoamento da água, a medida do tempo ainda era muito imprecisa. A medição do tempo com precisão de 1 segundo e até um pouco melhor só começou 1800 anos depois de Hiparco, com Galileu, Huygens e Hooke. 
 
Mas mesmo com os relógios mais precisos de Huygens e Hooke, ainda não era possível alcançar o nível necessário de precisão para observações simultâneas em regiões afastadas, porque os relógios de pêndulo dependem da aceleração gravitacional, e ao mover um relógio de uma cidade para outra, mudando a altitude, a latitude etc., isso já afeta a sincronia e poucos dias depois o relógio já apresenta vários minutos de diferença em relação ao relógio que havia ficado na outra cidade, com o qual ele estava originalmente sincronizado. Esse continuou a ser um problema para a Ciência até pouco tempo atrás. No século XIX ainda era difícil fazer observações simultâneas, e mesmo no século XX, só com o uso de relógios atômicos que se podia assegurar razoavelmente a simultaneidade de observações. Só recentemente, com sincronização automática dos relógios pela Internet, ajustados com sistemas oficiais que usam relógios atômicos, como o NIST, Microsoft etc., é que se tornou possível chegar a um bom nível de precisão para observação simultânea de eventos em pontos afastados. Lembrando que o conceito de simultaneidade foi completamente reformulado por Poincaré e Einstein. 
 
Apesar de os cientistas antigos, medievais e renascentistas não possuírem relógios artificiais precisos, havia uma maneira de contornar essa dificuldade. Quando ocorria um eclipse, uma ocultação, um trânsito, uma conjunção etc., esses fenômenos podiam ser observados de regiões diferentes e se podia ter uma razoável garantia de simultaneidade, com pequenas variações em função do ângulo de observação e do atraso da luz para chegar em algumas regiões em comparação a outras. Mas esses atrasos eram menores que 0,1 de segundo. 
 
Foi assim que Cassini, Richer e outros colaboradores, em 1672, conseguiram calcular a distância da Terra ao Sol, ao observar a ocultação de uma estrela por Marte, de diferentes regiões do planeta. O resultado foi cerca de 138.000.000 km. Curiosamente, em 1654, Huygens havia feito uma estimativa para a distância do Sol de cerca de 160.000.000 km, mais próxima do valor correto que a medida feita por Cassini, porém o método de Huygens não era apropriado, ele simplesmente assumiu que Vênus e a Terra deveriam ter mesmo tamanho e calculou a que distância Vênus deveria estar para que seu tamanho aparente fosse consistente com o observado. Não está muito claro o motivo pelo qual ele escolheu Vênus, mas acabou sendo uma escolha de sorte, que levou a um resultado de sorte, porque Vênus realmente tem tamanho muito similar ao da Terra. Mas quando ele tentou usar um método análogo para estimar a distância de Sírius, supondo que Sírius tivesse mesma luminosidade do Sol, acabou passando longe do valor correto. 
 
Atualmente, com o uso de telescópios e câmeras, é relativamente fácil coletar os dados para calcular a distância até a Lua, mas a parte geométrica não é tão simples. Por isso decidi aproveitar a oportunidade da ocultação de Marte pela Lua, cujo evento garante razoável simultaneidade para observadores em diferentes regiões, e calcular, à moda antiga, a distância da Terra à Lua. Claro que embora o cálculo em si seja à moda antiga, levamos algumas vantagens importantes graças às tecnologias para comunicação, transferência de dados, medida de distância geodésicas etc. 

 

A ocultação ocorreu no dia 9/8/2020 e foi visível no Brasil. Embora aqui estivesse bastante nublado, quando faltava cerca de 4 minutos para o início do evento, abriu uma pequena janela de visibilidade na região, com boa transparência e quase sem turbulência. Com isso consegui capturar um pequeno vídeo, a partir do qual foi processada a imagem abaixo: 

 

A imagem em alta resolução pode ser acessada em Aqui e o vídeo pode ser acessado em Aqui.  
 
Em seguida, postei um convite para os colegas que também haviam registrado o evento, a partir de outras localidades, para que me enviassem suas fotos, suas coordenadas geográficas e horários precisos, para calcular a distância até a Lua com base na diferença da posição de Marte para diferentes observadores. 
 
Recebi imagens e coordenadas de Carlos Palhares e Alisson Correa. Alisson enviou também um vídeo. Carlos está relativamente próximo, produzindo uma linha de base muito curta, mas Alisson está no Rio Grande do Sul, a uma distância (medida na superfície) de 1380,6 km de minha posição, o que resultou numa diferença bastante razoável para a posição relativa de Marte entre as fotos dele e as minhas. A imagem abaixo mostra a ocultação conforme fotografada por ele em comparação à fotografada por mim: 

 

A região da Lua na qual ele registrou o contato com Marte está 512,3 pixels de distância da posição que eu registrei o contato da Lua com Marte. Isso corresponde a cerca de 0,050785º. Mas para o presente cálculo usaremos exclusivamente a distância Norte-Sul, que nesse caso foi de 485 pixels, correspondente a 0,048079º. Essa é a paralaxe N-S e vamos representá-la por “p”. Cheguei a pensar em medir as distâncias entre vários pontos da superfície de Marte, que devido à turbulência e ao processamento, mudam levemente de posição, e a foto dele de Marte deveria estar ligeiramente diferente devido a essas flutuações aleatórias causadas pela atmosfera. Com isso, poderia encontrar um resultado mais preciso e provavelmente mais acurado que 485 pixels, mas seria extremamente trabalhoso, e como não há garantia de que os sensores das câmeras e o sistema óptico dos telescópios tenham produzido uma imagem suficientemente plana, esse esforço adicional poderia melhorar apenas a precisão, sem um aumento real na acurácia. Por isso optei por usar só uma medida de 485 pixels. 
 
Conhecendo a distância linear entre nossas localidades e o ângulo de inclinação entre o eixo que une nossas localidades e o eixo que nos une até a Lua, basta um pouco de Trigonometria e Trigonometria Esférica para calcular nossa distância à Lua. 
 
O valor encontrado com base nessas fotos foi de 399.965 km para a distância entre o ponto médio de nossas localidades e a borda da Lua próxima à região da ocultação de Marte e para a distância até o centro da Lua cerca de 399.961 km. A distância indicada no Stellarium para a data e o horário das imagens foi de 399.266 km. Fiquei na dúvida se o Stellarium informava a distância ao centro da Terra ou à localidade utilizada na configuração. Então mudei minha localidade para as coordenadas informadas pelo Alisson, mantendo fixo o horário, para verificar se a distância mudava, e mudou para 399.384 km. Fiz mais um teste e mudei novamente para uma localidade no México (Nuevos Casas Grandes) e a distância mudou novamente para 400.464 km. Portanto o Stellarium informa a distância do centro da Lua até a localidade do observador, não até o centro da Terra. Nesse caso, o ponto médio entre nossas localidades, de acordo com o Stellarium, estava a 399.325 km do centro Lua. Ajustando para a distância de inverse sine parallax da Lua, o resultado seria 385.072 km, muito próximo dos 384.399,1 km. 
 
A distância foi calculada com erro menor que 0,2%, usando apenas dois telescópios amadores! 
 
A seguir, a descrição de como o cálculo foi realizado: 
 
A primeira coisa que precisamos saber é o raio de curvatura em nossa localidade. Para a localidade dele, o raio de curvatura é 6.351,141 km e para minha localidade o raio é 6.345,122 km. A média aritmética entre os dois raios de curvatura é 6.348,132 km. Se calcular o raio de curvatura para a média aritmética entre nossas latitudes, o resultado é 6.347,994 km. Como nosso resultado terá 3 ou 4 algarismos significativos, não é necessário calcular a integral que determinaria a média “verdadeira” do raio de curvatura entre nossas localidades. Para efeito de cálculo, foi adotado o valor 6.347,994 km. 
 
Conhecendo o raio de curvatura no meridiano para a média aritmética de nossas latitudes, o próximo passo é calcular a distância linear entre nossas latitudes. Para tornar o resultado um pouco mais acurado, foi somada a média aritmética de nossas altitudes acima do nível do mar: 546 m e 72 m, cuja média é 309 m. Assim, o raio de curvatura considerado foi 6.348,303 km. Obviamente essa não é a forma mais acurada, mas como precisamos de no máximo 4 algarismos significativos, isso é suficiente. 
 
d = 2*Arcsen[(L1-L2)/2]
 
A distância linear (d) entre nossas latitudes é 754,7337 km. 
 
Se a Lua estivesse quase no zênite, o cálculo poderia ser simplificado fazendo apenas 
 
D = d/(sen(p/2)/4) = 449.710 km e já teríamos a distância da Lua.  
 
Mas como Marte e a Lua estavam cerca de 57º de altitude em relação ao horizonte no momento do início da ocultação, esse detalhe não pode ser negligenciado. No momento do evento, o centro da Lua estava 62,7959º distante do ponto Norte no horizonte para minha localidade. Então não se pode considerar a distância de 754,7337 km como sendo a separação Norte-Sul, porque o eixo de observação está inclinado 27,2041º. Nesse caso, é necessário multiplicar essa separação pelo cosseno de 27,2041º, chegando ao resultado de 399.965 km. 
 
Ainda seria possível fazer mais alguns refinamentos no método, considerasse a refração atmosférica, considerando que Marte não está infinitamente mais distante (estava cerca de 224x mais distante), mas como a incerteza está limitada aos 485 pixels de separação, não haveria como melhorar sensivelmente esse resultado (1/485 ou cerca de 0,2%). 
 
Os cálculos foram um pouco mais demorados do que eu imaginava, porque tive que deduzir o processo, já que nos livros de referência (“Problemas y ejercícios prácticos de astronomia”, de Vorontsov e Veliaminov, “Astronomia e Astrofísica”, de Kepler de Oliveira) não havia modelos para cálculos desse tipo. 
 
Fiquei muito satisfeito e até um pouco surpreso com a acurácia no resultado. 

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