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ESTRATÉGIA COM 99% DE ACERTOS

Por Hindemburg Melão Jr

Em 2001, quando o Sigma Test foi publicado na revista da Prometheus Society, houve um aumento considerável na quantidade de pessoas com elevados escores de QI que se submeteram ao meu teste, inclusive alguns orientadores de doutorandos em Matemática, Física e Engenharia, e fiquei surpreso com o fato de que alguns deles não resolveram corretamente a questão 17:

“Um automóvel de Fórmula-1 percorre uma pista circular, completando a primeira volta em 3 minutos, à velocidade média de 144km/h. Em quanto tempo deve ser concluída a segunda volta, para que a velocidade média nas duas voltas seja de 300km/h?”

É um problema relativamente simples, no entanto há uma pequena sutiliza que passa despercebida, se a pessoa tentar resolver mecanicamente, usando as fórmulas de cinemática. Para encontrar a solução, deve-se interpretar o problema fisicamente.

 

Hoje me ocorreu uma situação semelhante, quando um doutor em Matemática ficou insistindo que se duas estratégias apresentarem propriedades básicas iguais, porém uma delas tiver 99% de acertos e a outra tiver 30% de acertos, aquela com 99% é superior. Tentei explicar a ele que na verdade é o contrário, e passamos mais de 1 hora discutindo...

 

A porcentagem de operações lucrativas é um dos critérios mais ingênuos e impróprios para se escolher um bom fundo, uma boa estratégia ou qualquer bom investimento. No entanto, se isso não é facilmente percebido por um experiente matemático, provavelmente também não é percebido por investidores experientes e bem reputados. Eu achava que isso era óbvio, por isso nunca havia pensado em escrever um artigo a respeito, mas agora constatei que escrever sobre isso pode ser esclarecedor a um número considerável de pessoas.

Procurarei ser o mais didático possível e minimamente técnico, porém não há como desenvolver a argumentação sem realizar alguns cálculos. Por isso peço desculpas antecipadas aos que não gostam de Exatas, e peço que façam um pequeno esforço para compreender cada etapa, se tiverem a sincera intenção de entender o problema.

 

Suponhamos que temos duas estratégias e precisamos escolher qual delas é a melhor. A primeira gera rentabilidade de 10% ao ano e tem 99% de operações lucrativas enquanto a segunda também gera 10% de lucro ao ano, mas tem 30% de operações lucrativas. Ambas tiveram máximo drawdown de 20%, foram testadas durante 12 meses e cada uma fez 100 operações neste período. Qual é a melhor?

 

Apenas estas informações geralmente não são suficientes para uma análise profunda, mas já fornecem algumas pistas importantes que ajudam na avaliação. A primeira pista importante é sobre a incerteza nestes valores. Se cada estratégia fez 100 operações, a que teve 30% de acertos fez 30 operações lucrativas e 70 negativas, portanto reúne duas amostras com algumas dezenas cada e uma incerteza relativamente baixa no balanço final.

 

A que teve 99% de acertos fez apenas 1 negativa, portanto reúne uma amostra com apenas 1 caso, que é muito pequena e implica incerteza muito alta no balanço final. Como podemos determinar a incerteza no balanço final? Ora, se ambas tiveram máximo drawdown de 20% e a primeira fez apenas 1 operação negativa, significa que o stop loss utilizado é cerca de 20%, enquanto a segunda deve utilizar um stop loss em torno de 1%. Se a estratégia com 99% de acertos utiliza stops de 20%, então cada operação lucrativa é 62,075 vezes menor do que cada operação positiva.

Estratégia 1: (1 + 0,20/62,075)^99 x (1 – 0,20)^1 = 1,1000

 

Se com 30% de acertos houve 10% de lucros, supondo que seja utilizado stop loss fixo de 1%, significa que cada operação lucrativa é 2,6986 vezes maior do que cada operação negativa. Para conferir, basta fazer:

 

Estratégia 2: (1 + 0,026986)^30 x (1 – 0,01)^70 = 1,1000

 

Isso significa que se em vez de 30% de acertos a Estratégia 2 tivesse 29% de acertos, o lucro anual teria sido de 6,04%. Se tivesse 28% de acertos, o lucro anual teria sido de 2,21%. Se tivesse 27% de acertos, teria ficado negativa em 1,46%. Portanto, num total de 100 operações, ela suportaria uma incerteza de quase 3% até gerar resultados negativos.

 

Basta fazer:

Estratégia 2: (1 + 0,026986)^29 x (1 – 0,01)^71 = 1,0604

Estratégia 2: (1 + 0,026986)^28 x (1 – 0,01)^72 = 1,0221

Estratégia 2: (1 + 0,026986)^27 x (1 – 0,01)^73 = 0,9854 (0,9854 = 1 – 0,0146)

 

Em contrapartida, se em vez de 99% de acertos a Estratégia 1 tivesse 98% de acertos, ela já ficaria negativa em 12,28%. Se tivesse 97% de acertos, ficaria negativa em 30,05%. Se tivesse 96% de acertos, ficaria negativa em 44,22%.

 

Basta fazer:

Estratégia 1: (1 + 0,20/62,075)^98 x (1 – 0,20)^1 = 0,8772 (0,8772 = 1 – 0,1228)

Estratégia 1: (1 + 0,20/62,075)^97 x (1 – 0,20)^1 = 0,6995 (0,6995 = 1 – 0,3005)

Estratégia 1: (1 + 0,20/62,075)^96 x (1 – 0,20)^1 = 0,5578 (0,5578 = 1 – 0,4422)

Se em ambas foram executadas 100 operações, a incerteza no número de operações positivas ou negativas é aproximadamente a mesma, porém ter uma negativa a mais ou a menos afeta a segunda estratégia numa proporção bem menor, implicando menor risco de ficar negativa e menor risco de ruína nos anos seguintes. Logo, a estratégia com 99% de acertos é muito inferior à estratégia com 30% de acertos, mesmo ambas tendo mesmo lucro anual, mesmo máximo drawdown, mesmo número de operações e tendo operado no mesmo período de 12 meses.

 

Portanto a estratégia com 30% de operações lucrativas oferece uma incerteza percentual menor e uma segurança maior de que manterá boa homogeneidade de resultados nos anos seguintes, ao passo que a estratégia com 99% de acertos apresenta uma incerteza altíssima na performance e oferece menos segurança de os resultados observados sejam mantidos nos anos seguintes. Isso significa que toda estratégia com 99% de acertos é ruim? Não! Significa apenas que há muitas outras variáveis mais importantes que precisam ser levadas em consideração, e que este critério é irrelevante. Os critérios corretos a serem considerados, e suas importâncias relativas, são discutidos em outros artigos de nosso site.

 

Também convém esclarecer mais alguns pormenores: a discussão sobre isso começou porque em meu artigo anterior eu havia comentado que o Saturno V T-100g tem 59% de acertos nas operações, e uma avaliação superficial pode fazer parecer que isso é pouco, quando na verdade não é muito nem pouco. Este é o valor ótimo para esta estratégia. Há versões do Saturno que acertam 60%, outras acertam 80% ou até 90%, e o Saturno poderia ser configurado para entrar exclusivamente nas operações com mais de 90% de probabilidade de sucesso, mas isso seria pior, não tanto pelos motivos citados nos parágrafos anteriores deste artigo, mas sim porque as ocasiões nas quais surge uma oportunidade de entrar numa operação com 90% de probabilidade de acerto são raras. O ideal não é ter a maior porcentagem possível de acertos, mas sim ter o maior lucro dentro de um patamar aceitável de risco. Vamos analisar os dois casos:

1) Se o Saturno operasse exclusivamente nas situações em que há 90% de probabilidade de acerto, tais oportunidades surgiriam apenas 2 vezes por ano, com cerca de 5% de lucro em cada operação, totalizando cerca de 10% de lucro se acertasse ambas. Se considerar que há 90% de probabilidade de que as operações sejam positivas, então em cada 50 anos faria 100 operações e teria cerca de 90 positivas e 10 negativas, portanto uma diferença de 80 entre positivas e negativas. Com cada operação positiva tendo mesmo tamanho de cada negativa, o lucro médio por ano seria cerca de 8%.

 

2) Se operasse nas situações em que há 60% de probabilidade de acerto, então em vez de 2 oportunidades por ano surgem 50 oportunidades por ano, ganhando 5% em cada operação positiva e perdendo 5% em cada operação negativa. Assim, das 50 operações haveria 30 positivas (60% de 50 = 30) e 20 negativas (40% de 50 = 20), com um saldo líquido de 10 operações positivas a mais que as negativas, com 5% de lucro em cada. Na verdade, o cálculo correto seria 1,05^30 x 0,95^20 = 1,5493, portanto com lucro total de 55%, ao passo que se fosse adotada a estratégia que só executa as operações com 90% de probabilidade de sucesso, o lucro seria de apenas 8% no mesmo período.

 

Ainda há outros fatores a considerar, como o aumento no máximo drawdown quando o número operações é maior (esta é uma propriedade do processo de Wiener). Com 50 operações por ano e 60% de probabilidade de cada uma ser lucrativa, pode-se ter um ganho de 55% com máximo drawdown de 20%, enquanto no caso de 2 operações por ano com 90% de probabilidade de cada uma ser lucrativa, o lucro médio anual pode ser de 8% com máximo drawdown de 5%. Então embora o lucro seja menor, o máximo drawdown também é menor, com o detalhe que o lucro é 7 vezes menor, enquanto o máximo drawdown é 4 vezes menor, portanto é mais vantajoso usar a configuração que tem 60% de acertos do que a configuração com 90% de acertos. O cálculo correto deveria ser com 1/(1-MDD) em vez de usar no cálculo o MDD, conforme discutido em outro artigo, mas como a proporção de 7/4 é grande, esta simplificação no cálculo não interfere na decisão sobre qual a melhor alternativa.

 

Há que se considerar também a homogeneidade (que aumenta com o número de operações), a incerteza nas medidas (que aumenta com o número de operações), a homoscedasticidade (que diminui com o número de operações) etc. Ao considerar o conjunto de fatores relevantes, a otimização com 59% de probabilidade de cada operação ser lucrativa é a melhor possível para as versões atuais do Saturno. Isso foi constatado após milhares de configurações terem sido testadas, cada configuração envolvendo centenas de variáveis. Portanto, o Saturno V acerta 59% porque foi otimizado visando a maximizar um escore que determina a melhor representação da relação entre alta rentabilidade e baixo risco. Se o objetivo fosse otimizar a porcentagem de acertos, poderia ter 90% de acertos, 95% ou mesmo 99% de acertos. Bastaria selecionar os genótipos com estes resultados, no entanto isso seria prejudicial ao desempenho e serviria apenas como publicidade barata. Provavelmente os fundos e gestores nem sequer chegam a fazer tais estudos; basicamente aplicam algum procedimento elementar para cálculo de VaR, ou nem chegam a tanto. E em negócios menos técnicos, como franquias, nem se sonha em realizar qualquer investigação similar. É isso. (Quod Erat Demonstrandum)